Por: Silvério da Costa Oliveira.
“Todo o bom matemático é pelo menos metade filósofo e todo o bom filósofo é pelo menos
metade matemático.”
Gottlob Frege
(esta frase lhe é amplamente atribuída, mas não confirmada em fontes primárias)
Gottlob Frege
1- Vida
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) nasceu na cidade alemã de Wismar, Mecklemburgo-Schwerin, uma cidade costeira ao norte da Alemanha, e faleceu então com 76 anos na cidade de Bad Kleinen, Mecklemburgo-Pomerânia Ocidental, Alemanha. Filho único do casal Karl Alexander Frege (1809-1866) e Auguste Wilhelmine Sophie Bialloblotzky (1815-1893). Seu pai era professor e diretor de uma escola particular para meninas que ele próprio fundara e sua mãe, provavelmente de origem polonesa, atuava como professora na mesma instituição. Seu pai falece quando Frege tinha seus 17 anos de idade e sua mãe teve de assumir a gestão da escola. Frege completou seus estudos secundários no Gymnasium local de Wismar, local onde foi profundamente influenciado por seu professor de matemática e ciências naturais Gustav Adolf Leo Sachse (1843–1909), que além de educador também era poeta e encorajou Frege a prosseguir seus estudos na Universidade de Jena.
Frege estudou na universidade de Jena e na de Göttingen. Em Jena estudou matemática, química, física e filosofia. Lá, ele frequentou as aulas do físico e matemático Ernst Abbe, que se tornaria uma figura fundamental em sua vida. Em 1871, Frege transferiu-se para a Universidade de Göttingen, um centro de excelência em matemática, onde continuou seus estudos em matemática, filosofia e ciências físicas.
No ano de 1873 defendeu sua tese de Doutorado intitulada “Sobre uma representação geométrica das formas imaginárias no plano” (Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene). Essa dissertação explorava aspectos geométricos de números complexos, revelando seu domínio precoce da matemática analítica.
Na universidade de Jena tornou-se Privatdozent em maio de 1871, foi nomeado ausserordentlicher Professor (professor associado) em julho de 1879 e tornou-se professor estatutário de matemática em maio de 1896.
Frege defendeu o doutorado em Göttingen em 1873, mas já havia iniciado os trâmites para a habilitação durante seu retorno a Jena em 1871, com o apoio de Ernst Abbe, seu mentor. A nomeação como Privatdozent ocorreu nesse ano inicial, permitindo-lhe lecionar enquanto preparava a tese formal, que foi aprovada em 1874. Essa posição precária (sem salário fixo, dependente de taxas de alunos) marcou o início de sua longa carreira em Jena, que durou até a aposentadoria em 1918.
Atuou como professor de matemática em Jena e também como lógico, filósofo analítico, filósofo da linguagem, e matemático. Durante sua vida, Frege sempre atuou como professor de matemática, passando pelos vários ramos da mesma.
Seu foco inicial era a geometria, mas logo se voltou para a lógica e os fundamentos da aritmética. Em 1879, ele foi promovido a professor extraordinário (associado), e em 1896, alcançou o posto de professor ordinário (titular) de matemática na mesma universidade, cargo que manteve até sua aposentadoria em 1918. Durante sua carreira acadêmica, Frege lecionou disciplinas como geometria analítica, cálculo diferencial e integral, e mecânica teórica, mas sua verdadeira paixão estava na interseção entre lógica e matemática. Ele era conhecido por sua dedicação aos alunos, embora tivesse apenas um pupilo notável: Rudolf Carnap (1891-1970), que mais tarde se tornaria uma figura central no Círculo de Viena e na Filosofia Analítica.
Frege casou-se com Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (1856-1904) em 1887. Este casamento gerou pelo menos dois filhos, que, no entanto, morreram ainda jovens. O casal adotou uma criança de nome Alfred.
Frege viveu uma vida de relativo isolamento acadêmico. Seus trabalhos iniciais foram amplamente ignorados pela comunidade matemática e filosófica da época, apesar de manter um debate por escrito com figuras como Ernst Schröder, Giuseppe Peano, Edmund Husserl e Georg Cantor.
Ele participou de controvérsias, criticando duramente rivais como os psicologistas e os empiristas da matemática, como, por exemplo, John Stuart Mill, e defendendo visões conservadoras. Politicamente, Frege se posicionava como monarquista, leal à casa ducal de Mecklenburg, e cético em relação à democracia, refletindo o contexto de agitações políticas na Alemanha unificada de Otto von Bismarck, incluindo a Guerra Franco-Prussiana (1870–1871), que eclodiu durante seus estudos em Göttingen.
Um dos eventos mais significativos e mesmo dramático de sua vida ocorreu em 16 de junho de 1902, então com 53 anos de idade. Nesta ocasião Frege recebeu uma carta de Bertrand Russell, um jovem filósofo britânico que havia descoberto e admirado seus escritos. Russell, após alguns elogios ao trabalho desenvolvido por Frege, apontava educadamente uma contradição fundamental em seu sistema lógico. Aqui temos o famoso paradoxo de Russell, que destruía anos de trabalho meticuloso, apontando uma falha básica e crucial no pensamento até então desenvolvido por Frege. Frege, que acabara de finalizar o segundo volume de sua obra magna, incluiu uma nota humilde no prefácio admitindo o problema e questionando as bases de sua abordagem, demonstrando uma integridade intelectual rara. Esse episódio, embora devastador, não o impediu de continuar seu trabalho e Frege continuou a escrever buscando aperfeiçoar suas ideias e mesmo encontrar uma solução para a dificuldade encontrada e proposta por Russell.
No ano de 1911 Ludwig Wittgenstein, na condição de estudante austríaco interessado nos fundamentos da matemática, fez uma visita a Jena na qual travou contato com Frege, a quem reverenciou como mestre e cuja obra veio a influenciar a sua própria filosofia. Wittgenstein recebeu de Frege o incentivo decisivo para prosseguir seus estudos com Bertrand Russell em Cambridge.
Em 1918, aos 70 anos, ele se aposentou da universidade, recebendo uma pensão modesta. Nos anos finais, Frege mudou radicalmente sua visão sobre os fundamentos da aritmética: em 1923, concluiu que sua tentativa de a basear na lógica havia falhado e defendeu que a geometria deveria ser o alicerce da aritmética. Ele começou a esboçar essas ideias, mas não as publicou antes de sua morte. Frege faleceu em 26 de julho de 1925, aos 76 anos, em sua casa de veraneio em Bad Kleinen, perto de Wismar, sua cidade natal. Sua vida foi marcada por perdas e isolamento, a par com uma busca incansável pela precisão.
Sua morte passou quase despercebida; ele foi enterrado localmente, e seu filho adotivo Alfred o acompanhou até o fim. Durante a vida, Frege permaneceu obscuro fora de círculos restritos, mas seu legado foi redescoberto postumamente, especialmente após a segunda guerra mundial, com traduções para o inglês em 1950 e o reconhecimento por influenciar pensadores como Russell, Wittgenstein e Carnap.
Frege é considerado um dos fundadores da lógica matemática contemporânea e da filosofia analítica, tendo apresentado significativa contribuição à Filosofia da Linguagem. Durante sua vida, seu trabalho ficou restrito a uns poucos estudiosos, vindo a se espalhar somente após a segunda guerra mundial.
Ao mesmo tempo em que se afasta da lógica dos silogismos de Aristóteles, se aproxima da lógica proposicional presente nos estoicos.
Frege tinha como projeto fundamentar a aritmética na lógica, mas mudou de opinião após ser confrontado com o paradoxo de Russell. Frege desenvolve sua obra filosófica no que podemos chamar de “Filosofia da Linguagem”, que se tornará comum a partir do final do século XIX e no transcorrer do XX, vindo a ocupar o interesse de muitos filósofos. Busca Frege uma filosofia analítica, ou seja, que possa analisar a linguagem em busca de um sentido comum e aceito, que evite desentendimentos quando de discussões presentes em questões filosóficas, muitas vezes ocorridas não em virtude do tema abordado e sim pela forma inadequada como este fora abordado.
2- Ideias
Frege elabora seu pensamento no contexto de reação ao psicologismo dominante e à tradição idealista alemã, buscando fundar a objetividade da lógica e da linguagem. Devemos atentar para três pontos importantes na obra de Frege: o sentido (Sinn), a referência (Bedeutung) e a representação (Vorstellung). Aqui Frege distingue três níveis: o sentido, como sendo objetivo e modo de apresentação; a referência, como sendo objeto ou valor-verdade; e a representação, como sendo subjetiva, já que varia de pessoa para pessoa, não pertencendo a semântica. A representação (Vorstellung) é oposta ao sentido (Sinn).
A título de aproximação didática, não de equivalência estrita, podemos afirmar que o sentido nos lembra o predicado na filosofia lógica de base aristotélica, já a referência nos lembra o sujeito, por sua vez, a representação é o que ocorre subjetivamente a cada um diante de determinada frase, afirmação, situação, etc.
Os desentendimentos em filosofia podem ocorrer em virtude de filósofos diferentes terem representações diferentes sobre um mesmo tema, o que pode ser evitado, ou pelo menos minimizado, se analisamos a linguagem empregada de modo objetivo, buscando deste modo afastar a subjetividade presente na representação.
Quando falamos em um dado conceito (seleção brasileira de futebol, OVNI ou OSNI ou UFO, discos voadores, democracia, etc.) cada pessoa possui sua própria e distinta representação sobre tal. Na frase “O personagem de ficção Sherlock Holmes é detetive” temos que o sentido da frase é equivalente ao seu predicado “ser detetive”, já a referência é equivalente ao seu sujeito, “o personagem de ficção Sherlock Holmes”. Esta frase por sua vez, possui um valor de verdade que pode ser verdadeiro ou falso, como existe um personagem criado por Sir Arthur Conan Doyle que se chama Sherlock Holmes e atua como detetive nos romances escritos pelo autor, o valor de verdade desta frase é “verdadeiro”. Aqui a qualificação ‘personagem de ficção’ garante a existência da referência.
Frege distingue o “sentido” da “referência” nas expressões linguísticas, sendo esta distinção uma contribuição marcante pra a Filosofia da Linguagem. Argumenta Frege que as palavras / frases possuem um sentido, sendo este o seu significado, e possuem também uma referência, ou seja, o objeto ou o conceito ao qual se referem. Esta distinção feita por Frege mostrou-se de enorme importância no desenvolvimento da semântica e também da teoria da referência na filosofia.
Uma das mais relevantes contribuições de Frege foi a criação de um sistema de representação simbólica, Begriffsschrift (também pode ser chamada por conceitografia ou ideografia) visando a representação formal da estrutura dos enunciados lógicos e suas relações. Outra importante contribuição encontra-se junto ao cálculo dos predicados. Frege substitui a dicotomia “sujeito / predicado” da lógica tradicional pela “função / argumento”, presente na matemática. A “função” aqui seria semelhante ao “predicado” e “argumento” seria semelhante ao “sujeito”, se comparada à lógica tradicional. Na frase “Sócrates é sábio”, temos que: “x é sábio” é função porque precisa do objeto “Sócrates” para completar. Já “Sócrates” se apresenta como argumento, pois, é completo, não havendo em si algo para ser completado.
Importante em sua obra também é o “princípio da contextualidade”, como ficou conhecido. Este princípio afirma que o sentido de uma dada expressão depende do contexto na qual a expressão está sendo usada. Uma mesma palavra pode apresentar distintos sentidos de acordo com o contexto no qual é empregada.
Em sua teoria dos conceitos, Frege apresenta os conceitos enquanto entidades abstratas que possuem existência independente daquilo que tendem a representar. Os conceitos mostram-se de vital importância no entendimento do que seja a linguagem e o pensamento, sendo elementos que proporcionam significado às expressões linguísticas.
Frege apresentou alguns conceitos fundamentais que revolucionaram a lógica, a matemática e a filosofia da linguagem, sendo considerado o pai da lógica matemática moderna, da filosofia analítica e do logicismo matemático. Os conceitos por ele elaborados são ferramentas estruturais que nos permitem sustentar aquilo que pensamos, falamos e calculamos com rigor. Podemos dividir e apresentar dez pontos que se destacam na contribuição dada na obra de Frege.
1- O primeiro ponto importante de destaque em sua obra é que coube a Frege apresentar como contribuição em sua obra a primeira linguagem lógica formal completa, em 1879, a Conceitografia / Begriffsschrift. Trata-se de uma linguagem artificial capaz de expressar todo o raciocínio dedutivo com absoluta precisão e deste modo, permitir a eliminação de ambiguidades presentes na linguagem natural por nós empregada no dia-a-dia.
Pensemos em um exemplo prático, na linguagem comum, dizemos:
“Se Sócrates é homem e todo homem é mortal, então Sócrates é mortal.”
Isso parece claro, mas é ambíguo: “todo homem” pode ser interpretado de formas diferentes.
Na Begriffsschrift, Frege escreveu isso com símbolos bidimensionais (como árvores lógicas), onde:
Uma barra horizontal = negação
Uma barra vertical = condicional
Quantificadores (∀, ∃) aparecem pela primeira vez na história
Esta forma de escrever é essencial e sem isso, não teríamos lógica de predicados, nem computadores, nem provas automáticas.
2- O segundo ponto de destaque encontra-se na definição e separação entre sentido e referência apresentada no ano de 1892, Über Sinn und Bedeutung. Com a distinção entre sentido (Sinn) e referência (Bedeutung) Frege resolveu o enigma da identidade com uma das ideias mais brilhantes da filosofia da linguagem.
Exemplo clássico:
“A estrela da manhã” = “A estrela da tarde”
Ambas se referem a Vênus (mesma referência),
mas não têm o mesmo sentido:
Sentido = modo de apresentação
Referência = objeto real
“Estrela da manhã” = o astro que aparece ao amanhecer
“Estrela da tarde” = o astro que aparece ao entardecer
Outro exemplo (Frege):
“4” e “2 + 2” têm mesma referência (o número 4),
mas sentido diferente (um é numeral, outro é operação).
A distinção entre “sentido” e “referência” teve grande impacto. Sem essa distinção, não entendemos contextos opacos, como no exemplo: “Odisseu acreditava que a estrela da manhã era diferente da estrela da tarde”.
3- O terceiro ponto de destaque se dá diante do “conceito” e do “objeto”, o que nos coloca diante de uma discussão ontológica. Frege nos apresentou isto no ano de 1892, em Über Begriff und Gegenstand.
Conceito vs. Objeto: A Ontologia Lógica
Frege separa o mundo em dois tipos de entidades: Objeto e conceito.
O objeto é completo, saturado, pode ser nomeado (exemplo: Sócrates), não pode ser predicado de si mesmo.
O conceito é insaturado, precisa de complemento, é predicado (exemplo: “é sábio”), pode ter objetos caindo sob ele.
Exemplo:
“Sócrates” → objeto
“é filósofo” → conceito
A frase “Sócrates é filósofo” = objeto cai sob conceito
Frege diz que conceitos são funções (como em matemática).
→ Função: “x é filósofo”
→ Argumento: “Sócrates”
→ Valor: verdadeiro
Mas é preciso ter cuidados para não cair em paradoxos. Se um conceito for tratado como objeto (exemplo: “o conceito de cavalo é um conceito”), gera confusão e passamos a estar diante da base do paradoxo proposto por Russell.
4- O quarto ponto de destaque se dá a partir dos conceitos de função e argumento, o que nos coloca diante da matemática da lógica. Isto foi por Frege apresentado em 1891, em Funktion und Begriff. Aqui Frege generaliza a noção de função da matemática para a lógica.
Na matemática:
f(x) = x²
f(3) = 9
Na lógica (Frege):
Conceito = função que dá valor de verdade
“x é primo” → função
“7 é primo” → verdadeiro
“4 é primo” → falso
Isso permite tratar proposições como equações lógicas. O que é uma revolução. A lógica deixa de ser sobre “sujeito-predicado” e vira cálculo funcional.
5- O quinto ponto de destaque ocorre a partir do logicismo. A aritmética passa a ser entendida como pura lógica. Frege nos apresenta esta argumentação no ano de 1884, Grundlagen der Arithmetik, e em 1893/1903, Grundgesetze.
Frege queria provar que todo número e toda verdade aritmética pode ser derivada apenas da lógica e nos apresenta uma definição genial para o número, que irá resultar, no entanto, em um fracasso impressionante, já que todo seu sistema colapsa diante do paradoxo apresentado por Russell no ano de 1902. Mesmo assim, esta ideia de Frege inspirou outros autores, como o próprio Russell, Hilbert, Gödel, Turing e podemos dizer mesmo que toda matemática moderna.
Definição de número:
O número 3 não é uma propriedade de objetos, nem uma ideia na mente.
É a extensão do conceito “ter exatamente três elementos”.
Mais formalmente:
Número = classe de classes equipotentes.
Exemplo: o número 3 = { {a,b,c}, {x,y,z}, {1,2,3} } → todos os trios.
Exemplo didático:
Imaginemos um planeta imaginário “J” com 8 luas em sua órbita.
Pergunta: Quantos planetas têm 8 luas?
Resposta: o número 1 (o planeta imaginário “J”).
Mas “1” não está no céu.
O número 1 é a classe de todos os conceitos que se aplicam a exatamente um objeto — e o conceito “ter exatamente 8 luas” é um deles.
6- O sexto ponto de destaque se encontra nos três reinos do Ser, tese esta apresentada por Frege no ano de 1918, em Der Gedanke.
Os três reinos do Ser.
Frege divide a realidade em três domínios ontológicos: físico, psíquico e terceiro reino. O reino físico tem como característica o espaço físico e a causalidade e temos como exemplo: uma mesa, um planeta. O reino psíquico tem como característica ser subjetivo e pessoal, e temos como exemplo: dor, prazer, uma ideia qualquer na mente. O terceiro reino tem como característica ser objetivo, atemporal e público, podemos ter como exemplo: pensamentos, números, proposições.
Exemplo:
A frase “2 + 2 = 4”
Som → físico
Imagem mental → psíquico
Sentido da frase → pensamento objetivo (mesmo para gregos antigos)
Esta ideia aqui apresentada neste sexto ponto tem como impacto buscar explicar como a ciência é universal e não depende da mente.
7- O sétimo ponto de destaque ocorre ao diferenciar pensamento de ideia, o que Frege faz no ano de 1918, em Der Gedanke.
Pensamento (Gedanke) ≠ Ideia Mental
Ideia = subjetiva, varia de pessoa para pessoa
Pensamento = objetivo, idêntico para todos que o compreendem
Exemplo:
Você e eu pensamos: “A Terra gira em torno do Sol”.
Temos imagens mentais diferentes,
mas o mesmo pensamento objetivo.
Isso é a base da comunicação científica.
8- O oitavo ponto de destaque ocorre diante do conceito de “julgamento”.
Julgamento: Ato de reconhecer a verdade.
Frege distingue o “ato” da “descrição”. Podemos falar no ato de “apreensão do pensamento” que pode ser descrito como “entender a proposição”. Podemos falar no ato de “julgamento” que pode ser descrito como afirmar “é verdadeiro” ou “é falso”. Isto é muito importante porque evita confundir “entender” com “acreditar”.
Símbolo: ⊢ (sinal de asserção)
“⊢ 2 + 2 = 4” = eu julgo que é verdadeiro
9- O nono ponto de destaque se dá diante do “princípio do contexto”, apresentado no ano de 1884, em Grundlagen, §62.
Princípio do contexto: “Nunca pergunte o significado de uma palavra isoladamente, mas apenas no contexto da proposição”. Uma palavra só tem significado no contexto de uma proposição. Este nono ponto se encontra na base do holismo semântico e influenciou outros pensadores, como: Wittgenstein, Quine, Davidson.
Exemplo:
“Cão” sozinho → ambíguo (animal? signo? insulto?)
“O cão late” → claro
10- O décimo ponto é a crítica ao psicologismo, que podemos verificar no ano de 1884, em Grundlagen e no ano de 1894 em Resenhas. Aqui Frege destrói a ideia de que lógica ou matemática são psicologia. Isto apresenta uma verdadeira revolução, ao propor que lógica e matemática são ciências objetivas, não subjetivas.
Erro comum:
“Eu penso que 2 + 2 = 4, então é verdade.”
→ Não! A verdade é independente da mente.
Exemplo absurdo:
Um alienígena sem cérebro pensaria a mesma coisa.
Porque o pensamento é objetivo.
Síntese de Frege em somente 5 pilares
1. **Lógica Formal** → Begriffsschrift / Conceitografia (1879)
2. **Sentido × Referência** → Vênus — estrela matinal/vespertina
3. **Conceito = Função** → “x é sábio” (Sócrates) = verdadeiro
4. **Números = Extensões** → 3 = todos os trios
5. **Terceiro Reino** → Pensamentos são objetivos, públicos e eternos
Algumas frases isoladas para marcar o que discutimos até o presente:
“Uma palavra só tem significado no contexto de uma proposição.”
“O pensamento não está na cabeça, está no terceiro reino.”
“O número 3 não é um objeto, é a classe de todas os trios.”
“Lógica não é psicologia. Verdade não depende de crença.”
“Sentido é o caminho. Referência é o destino.”
Frege não apenas criou ferramentas, ele redefiniu o que significa pensar com rigor. Sem sua obra não haveria lógica moderna, ou filosofia analítica, ou os fundamentos seguros para a matemática, e não entenderíamos como linguagem e verdade funcionam. Para Frege, a verdade não é criação da mente, mas descoberta pela razão. Entre a precisão da matemática e a clareza da linguagem, Frege construiu a ponte que sustenta a racionalidade moderna. Verdade seja dita, Frege se mostra como o arquiteto invisível do pensamento contemporâneo.
2.1- O Paradoxo de Russell sobre a obra de Frege (Axioma V)
O paradoxo de Russell teve um impacto profundo no trabalho que Frege estava desenvolvendo e alterou o destino de sua obra.
O que é o Paradoxo de Russell? Frege construiu seu sistema em Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903) sobre 6 axiomas lógicos. O mais perigoso era o Axioma V (Lei Básica V) que afirma: “A extensão de um conceito F é igual à extensão de um conceito G se, e somente se, todo objeto que cai sob F cai sob G, e vice-versa.”
Em símbolos:
Ext (F) = Ext (G) ↔ ∀x (F (x) ↔ G (x))
Isso parecia inofensivo, afinal, duas classes com os mesmos membros são a mesma classe. Isto afirma simplesmente que dois conjuntos que possuem exatamente os mesmos números de elementos, e que cada elemento de um conjunto, pertence, também, ao outro conjunto, ou dito de outro modo: “w pertence a w” ou “w ∈ w”.
Mas em 16 de junho de 1902, Bertrand Russell (30 anos de idade e já brilhante) escreveu uma carta a Frege (então com 53 anos e no momento em que estava finalizando a impressão para publicação do Volume II - Leis básicas da aritmética, derivadas por meio da conceitografia), a carta em síntese apresentava uma dificuldade a todo o sistema que Frege vinha desenvolvendo até aquele momento.
"Prezado Professor Frege,
Permita-me apontar uma dificuldade em seu sistema..."
Isto foi algo terrível não somente para a teoria que Frege estava desenvolvendo, mas para o próprio estado emocional de Frege, que viu sua obra ruir diante de seus olhos. Vamos buscar agora explicar o paradoxo apresentado por Russel em 4 passos.
O Paradoxo
Defina a classe R:
“R é a classe de todas as classes que não contêm a si mesmas como membro.”
Pergunte:
A classe R contém a si mesma como membro?
Responda logicamente:
Se R contém R, então R não contém R (contradição).
Se R não contém R, então R contém R (contradição novamente).
Conclusão:
Ou R ∈ R → R ∉ R
Ou R ∉ R → R ∈ R
Ambas impossíveis → o sistema entra em colapso.
**PARADOXO DE RUSSELL**
R = {classes que não contêm a si mesmas}
→ R ∈ R?
Sim → Não
Não → Sim
→ **CONTRADIÇÃO**
Vamos pensar em uma analogia aqui para buscar melhor entender a questão proposta por Russell em seu paradoxo.
1- Imagine uma biblioteca na qual temos um catálogo que diz que lista todos os catálogos que não listam a si mesmos.
2- Se ele se lista, então não deveria se listar → contradição
3- Se não se lista, então deveria se listar → contradição.
4- O catálogo não pode existir.
Como Frege reagiu a isto, afinal, teve um enorme impacto psicológico e intelectual, não é mesmo? E quais foram os efeitos imediatos que isto gerou? No tocante emocional podemos descrever como uma “devastação”. Frege escreveu a amigos: “Minha vida perdeu o sentido.” Na área intelectual tivemos o abandono do logicismo radical. Nos últimos anos (1924–1925), defendeu que geometria, não lógica, é o fundamento da aritmética. Já na sua carreira, Frege já era isolado e ficou mais “amargo”, parando de publicar grandes obras. Frege recebeu a carta quando o Volume II estava na gráfica. Ele não negou. Ele não escondeu. Ele incluiu um apêndice humilde no próprio livro:
"Uma das tarefas mais difíceis que já enfrentei foi reconhecer que meu Axioma V é falso." Gottlob Frege, Grundgesetze, Vol. II, Apêndice (1903).
“Um cientista não pode encontrar nada mais doloroso do que ver as fundações de sua obra ruírem quando o edifício está concluído.” Frege, em carta a Russell.
Frege foi importante e nos deixou um enorme legado, mas a aceitação de sua obra se deu diante de algumas mudanças. A sua Begriffsschrift / Conceitografia foi adotada como base, modificada profundamente, nunca rejeitada, mas substituída em forma. A notação 2D (árvore lógica) foi rejeitada na forma, já que era muito difícil de imprimir e ler. A ideia de linguagem formal foi adotada universalmente, sendo a base da lógica moderna. Os "Quantificadores (∀, ∃)" foram adotados com modificação, Peano e Russell usaram notação linear mais prática. A lógica de predicados foi adotada e ampliada e é o padrão hoje (ex: em linguagens de programação). A Begriffsschrift / Conceitografia não sobreviveu em forma, mas vive em espírito em toda prova formal, todo algoritmo, toda linguagem de programação.
2.2- A notação 2D
A notação 2D de Frege se mostrou genial, mas também impraticável
O que é a notação 2D (Bidimensional) de Frege? Frege rejeitou a notação linear (esquerda → direita) porque ela não representa a estrutura lógica real. Ele optou por uma notação bidimensional por julgá-la mais fiel à estrutura lógica. Sua ideia: O raciocínio é hierárquico, como uma árvore genealógica. Então, a linguagem lógica deve ser visual, não apenas sequencial.
Exemplo:
“Se Sócrates é homem e todo homem é mortal, então Sócrates é mortal.”
Na notação linear moderna (Peano/Russell):
∀x (Homem (x) → Mortal (x)) ∧ Homem (Sócrates) → Mortal (Sócrates)
Na notação 2D de Frege (Begriffsschrift / Conceitografia, 1879):
Sócrates é mortal
│
Sócrates é homem
│
┌──────────────────────────────┐
│ todo homem é mortal │
└──────────────────────────────┘
│
(condicional principal)
Barra horizontal longa (————) = negação
Barra vertical (│) = condicional (“se… então…”)
Quantificador (∀) aparece como um recesso na barra
Um segundo ponto para o abandono nesta notação foi a dificuldade de imprimir. A tipografia da época (1879), possuía algumas limitações que dificultavam e muito a impressão com a notação criada por Frege. Só existiam tipos móveis lineares (como em jornais). Não havia como alinhar barras verticais e horizontais em 2D. Aqui, vamos deixar claro que ao falarmos em “2D” (altura/vertical, largura/horizontal) o significado dado é de “duas dimensões”, ou em inglês “two-dimensional”. Frege usava o papel como sendo um plano bidimensional (altura × largura), não apenas uma linha horizontal, que seria o 1D (comprimento, como em uma régua). A notação de Frege era 2D porque explorava o espaço vertical do papel para mostrar hierarquia lógica, não só sequência.
Composição manual. "Cada página precisava ser montada à mão, com réguas, espaçadores e cola. Um erro = refazer tudo." Custo e tempo, O livro Begriffsschrift levou anos para ser impresso e Frege pagou do próprio bolso. O leitor precisava seguir linhas em várias direções, como um diagrama de circuito, o que é muito cansativo. Pensemos por meio de uma analogia para facilitar o entendimento dos motivos que levaram ao abandono desta notação em virtude da impressão. Escrever lógica em 2D é como montar um quebra-cabeça em cada página, já por sua vez, escrever em 1D é como ler um livro normal.
Vantagens da notação em 1D: pode ser digitada em qualquer teclado, pode ser impressa em qualquer impressora, pode ser lida em qualquer tela. Em suma, estamos diante da mesma lógica que Frege apresenta na notação 2D, só que em 1D é mais prática. É como se Frege tivesse imaginado a lógica como uma pintura em um quadro e, posteriormente, esta foi adaptada para ser usada em um texto.
Exemplo Real: Uma Fórmula de Frege (Impressa em 1879)
Aqui está como ficou no livro (imagine isso em uma prensa de 1879):
a
│
┌──────┴──────┐
│ │
b c
│ │
└──────┬──────┘
│
d
→ Isso é apenas uma condicional com duas premissas!
→ Em notação moderna: (b ∧ c) → (a → d)
3- Algumas das principais obras de Frege
1- Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Título traduzido para o português: Conceitografia: uma linguagem formal do pensamento puro modelada na aritmética. Data da primeira publicação: 1879.
Nesta obra fundacional, Frege desenvolve um sistema de notação lógica inovador para representar raciocínios de forma precisa e livre de ambiguidades linguísticas cotidianas, estabelecendo as bases para a lógica simbólica moderna ao modelar o pensamento puro como uma estrutura semelhante à aritmética, com ênfase em quantificadores e relações.
2- Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Título traduzido para o português: Os fundamentos da aritmética: uma investigação lógico-matemática sobre o conceito de número. Data da primeira publicação: 1884.
Frege realiza uma análise profunda do conceito de número, rejeitando interpretações psicológicas ou empiristas, e defende que a aritmética é derivável puramente da lógica, através de definições lógicas de números como extensões de conceitos, preparando o terreno para sua tentativa de logicismo.
3- Funktion und Begriff. Título traduzido para o português: Função e conceito. Data da primeira publicação: 1891.
Frege estende a noção de função da matemática para o domínio lógico, caracterizando conceitos como funções insaturadas que demandam complementos para formar pensamentos completos, distinguindo assim entre objetos saturados e funções, o que enriquece sua teoria da predicação e da estrutura lógica.
4- Über Sinn und Bedeutung. Título traduzido para o português: Sobre sentido e referência. Data da primeira publicação: 1892.
Frege introduz a distinção seminal entre o sentido de uma expressão, que captura o modo cognitivo de apresentação, e sua referência, o objeto ou valor de verdade designado, resolvendo enigmas semânticos como declarações de identidade e contextos opacos, fundamentais para a filosofia da linguagem.
5- Über Begriff und Gegenstand. Título traduzido para o português: Sobre conceito e objeto. Data da primeira publicação: 1892.
Em resposta a críticas, Frege esclarece a diferença ontológica entre conceitos, que são predicativos e insaturados, e objetos, que são completos e nomeáveis, enfatizando que conceitos não podem ser tratados como objetos sem paradoxos, fortalecendo seu arcabouço lógico-semântico.
6- Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet (Band I). Título traduzido para o português: Leis básicas da aritmética, derivadas por meio da conceitografia (Volume I), 1893).
Utilizando sua notação lógica, Frege apresenta axiomas lógicos básicos e tenta derivar os princípios da aritmética a partir deles, incluindo a lei da extensão de conceitos, como parte de seu projeto logicista para reduzir a aritmética à lógica pura.
7- Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet (Band II). Título traduzido para o português: Leis básicas da aritmética, derivadas por meio da conceitografia (Volume II), 1903).
Continuando o volume anterior, Frege desenvolve definições formais de números e provas aritméticas dentro de um sistema lógico, embora o trabalho tenha sido impactado posteriormente por inconsistências lógicas, representando o ápice de sua tentativa de fundamentar a aritmética na lógica.
8- Der Gedanke: Eine logische Untersuchung. Título traduzido para o português: O pensamento: Uma investigação lógica. Data da primeira publicação: 1918.
Frege explora os pensamentos como entidades objetivas e atemporais, distintas de ideias subjetivas, argumentando que eles são portadores de valores de verdade e essenciais para a comunicação e o raciocínio lógico, com implicações para a epistemologia e a ontologia.
9- Die Verneinung: Eine logische Untersuchung. Título traduzido para o português: A negação: Uma investigação lógica. Data da primeira publicação: 1918.
Frege analisa a negação como uma operação lógica que inverte o valor de verdade de um pensamento, distinguindo-a de meras rejeições subjetivas, e discute seu papel na formação de julgamentos e na estrutura da lógica proposicional.
10- Logische Untersuchungen. Dritter Teil: Gedankengefüge. Título traduzido para o português: Investigações lógicas. Terceira Parte: Composição de Pensamentos. Data da primeira publicação: 1923.
Frege examina como pensamentos complexos são construídos a partir de componentes simples via conectivos lógicos, enfatizando a unidade composicional e as regras semânticas que preservam a verdade, contribuindo para a compreensão de inferências e estruturas lógicas avançadas.
Silvério da Costa Oliveira.
Prof. Dr. Silvério da Costa Oliveira.
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